20‏/10‏/2010

نظرية مورلي

Morley's Theorem

في أواخر القرن التاسع عشر عام 1899م قدم البروفيسور مورلي Frank Morley نظريته المتعلقة بمستقيمات تثليث زوايا المثلث, فكل زاوية لها مستقيمي تثليث يقسمان الزاوية الى ثلاثة زوايا متطابقة. تنص نظرية مورلي على انه
في أي مثلث , النقاط الثلاث الناتجة من تقاطعمستقيمات التثليث المتجاورة adjacent trisectors تشكل مثلث متطابق الأضلاع.
نظرية مورلي Morley
 لقد شكلت هذه النتيجةمفاجأة , إذ لم يكن هذا أمرا متوقعا. الإثبات الأصلي لمورلي لهذه النظرية كان على شكل نتيجة من دراسة له كانت أكثر تعقيدا وبعيدة نوعا ما عن مفاهيم الهندسة المستوية.
ولذلك نشا بعدها عدة محاولات في تقديم براهين أكثر ارتباطا بالهندسة ولتلائم طبيعة المعلومة التي تحملها نظرية مورلي.
سنحاول هنا عرض ابسط البراهين التي كتبت لهذه النظرية. لقد وجدت هذا البرهان في احدى المصادر على النت واعجبني اعتماده الكامل على حقائق هندسية أولية , البرهان يسير بطريقة عكسية أنطلاقا من المثلث المتطابق الأضلاع وصولا الى مثلث مستقيمات التثليث المتجاورة فيه تتقاطع عند رؤوس المثلث المتطابق الأضلاع.
ليكن PMN مثلث متطابق الأضلاع ولتكن a,b,c أي ثلاة أعداد موجبة بحيث يكون مجموعها 60 , اي ثلث مجموع زوايا المثلث. سنبدا الآن ببناء المثلث الذي زواياه 3a, 3b , 3c.
من النقطة P ارسم زاوية قياسها a ومن النقطة M ارسم زاوية قياسها c بحيث يتقاطع ضلعي الزاويتين البعيدين عند النقطة B. بالمثل من النقطة P والنقطة N ارسم زاويتين قياسهما b و c على الترتيب بحيث يتقاطع ضلعي الزاويتين البعيدين عند النقطة A.
نظرية مورلي Morley
بالنظر للمثلث APN يظهر بوضوح أن الزاوية PAN=a
بالنظر للمثلث BPM يظهر بوضوح أن الزاوية PBM=a
المثلثين PNR و PMQ في كل منهما زاوية 60 وزاوية 60+c وضلعين متطابقين PM , PN. إذا
\left| {QP} \right| = \left| {PR} \right|

أيضا من التطابق, الزاويتين الخارجيتين PRA و PQB متساويتن وبالتالي المثلثان APR و BPQ متشابهان لتساوي زوايتين من الأول مع زاويتين من الثاني. ومن تناسب الأضلاع فيهما ينتج أن :
\frac{{\left| {BP} \right|}}{{\left| {PA} \right|}} = \frac{{\left| {QP} \right|}}{{\left| {RA} \right|}} = \frac{{\left| {PR} \right|}}{{\left| {RA} \right|}}

حيث النسبة الأولى من اليمين ناشئة من أن \left| {QP} \right| = \left| {PR} \right|.
لنصل الآن القطعة AB . في المثلثين ABR و ABP الزاوية R= الزاويةP . ولذلك المثلثان متشابهان من خلال زاوية وتناسب ضلعين كما يبين التناسب السابق. وبالتالي الزاويتين المتبقية من المثلث ABP قياسهما a, b كما هو مبين على الشكل.
بالمثل نستطيع تكرار نفس هذه المحاورة مرة ثم مرة اخرى لنحصل في النهاية على مثلث ABC كما في الشكل قياس زواياه على 3a, 3b, 3c والتي مجموعها بطبيعة الحال 180 درجة.
نظرية مورلي Morley
هذا الاثبات يبين كيف نبني المثلث الذي تعطي مستقيمات التثليث الخاصة به ذلك المثلث المتطابق الأضلاع , ولكن هذا ليس في الحقيقة ما نريده بالضبط . لذلك وحتى يكتمل البرهان لنفرض أننا اعطينا مثلث اختياري XYZ قياس زواياه r, s , t. لنفرض أن أثلاث هذه القياسات هي a,b,c. إذا المثلث ABC المنشأ بالطريقة السابقة عبارة عن مثلث مشابه لهذا للمثلث المعطى وحيث التشابه يحافظ على الزوايا فإن نقاط تقاطه مستقيمات التثليث المتجاورة تشكل رؤوس لمثلث متطابق الأضلاع وهو المطلوب إثباته.
برهان آخر
البرهان التالي والمسمى برهان بانكوف Bankoff's Proof يعتمد على حساب المثلثات ويتميز بأنه يقدم صيغة رياضية لحساب طول ضلع المثلث الناشئ (المتطابق الأضلاع) بدلالة زوايا المثلث الأصلي.

ليكن ABC مثلث مرسوم داخل دائرة نصف قطرها ولنفرض أن
\hat A = 3a,\;\hat B = 3b,\;\hat C = 3c \Rightarrow a + b + c = 60^ \circ
 

ولنفرض ان الدائرة المحيطة بالمثلث نصف قطرها R=1 . من قانون الجيوب
\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}} = 2R
ينتج لنا

AB = 2\sin 3c,\quad BC = 2\sin 3a,\quad CA = 2\sin 3b\quad \quad (1)

خذ الآن المثلث BAP , من قانون الجيوب لدينا
\frac{{BP}}{{\sin a}} = \frac{{BA}}{{\sin (180^ \circ - (a + b))}} \Rightarrow \frac{{BP}}{{\sin a}} = \frac{{2\sin 3c}}{{\sin (a + b)}} = \frac{{2\sin 3c}}{{\sin (60^ \circ - c)}}

إذا
BP = \frac{{2\sin (a)\sin (3c)}}{{\sin (60^ \circ - c)}}\quad \quad (2)

ولكن من حساب المثلثات
\begin{array}{l}\sin 3c = 3\sin c-4\sin ^3 c = 4\sin c\left( {\frac{3}{4}-\sin ^2 c} \right)=4\sin c\left({\sin ^2 60^ \circ -\sin ^2 c} \right) \\ = 4\sin c\left( {\sin 60^ \circ + \sin c} \right)\left({\sin 60^ \circ -\sin c} \right) \\ = 4\sin c \times 2\sin \frac{{60^ \circ + c}}{2}\cos \frac{{60^ \circ - c}}{2} \times 2\sin \frac{{60^ \circ - c}}{2}\cos \frac{{60^ \circ + c}}{2} \\ = 4\sin (c)\sin (60^ \circ + c)\sin (60^ \circ - c) \\ \end{array}
بالتعويض بهذه النتيجة عن sin3a في المساواة (2) ينتج لدينا
BP = 8\sin (a)\sin (c)\sin (60^ \circ + c) = K\sin (60^ \circ + c)
بالمثل
BM = 8\sin (c)\sin (a)\sin (60^ \circ + a) = K\sin (60^ \circ + a)

ولكن من قانون جيب التمام على المثلث BPM
\begin{array}{l}PM^2 = BP^2 + BM^2 - 2\cos b(BP)(BM) \\ = K^2 \left( {\sin ^2 (60^ \circ + a) + \sin ^2 (60^ \circ + c) - 2\cos b[\sin ^2 (60^ \circ + a)\sin ^2 (60^ \circ + c)]} \right)\quad \quad (3) \\ \end{array}

لاحظ أن الزوايا 60+a , 60+c , b مجموعها 180 ولذلك هي زوايا لمثلث. ولنفرض ان الدائرة المحيطة به نصف قطرها r. باستخدم قانون الجيب وعلاقته بنصف القطر(المذكور أعلاه) يمكن التعبير عن أطوال أضلاع هذا المثلث بدلالة نصف القطروباستخدام هذا التعبير في قانون جيب التمام يكون الناتج
4r^2 \left( {\sin ^2 (60^ \circ + a) + \sin ^2 (60^ \circ + c) - 2\cos b[\sin ^2 (60^ \circ + a)\sin ^2 (60^ \circ + c)]} \right) = 4r^2 \sin ^2 b
إذا
\sin ^2 (60^ \circ + a) + \sin ^2 (60^ \circ + c) - 2\cos b[\sin ^2 (60^ \circ + a)\sin ^2 (60^ \circ + c)] = \sin ^2 b

وبالتعويض في (3) نحصل على
PM^2 = K^2 \sin ^2 b = 64\sin ^2 (a)\sin ^2 (b)\sin ^2 (c)
أو
PM = 8\sin (a)\sin (b)\sin (c)

نلاحظ أن هذه الصيغة الخاصة بإيجاد طول الضلع PM في المثلث PMN متناظرة بالنسبة للقياسات a,b,c. لذلك ستكون لبقية الضلعين MN , NP نفس القيمة وهذا يثبت أن المثلث PMN متطابق الضلعين.
أخيرا اشير الى انه في العام 1995 قدم كونوي Conway برهانا جميلا وقد يكون من أقصر البراهين لنظرية مورلي اعتمد فيه أبسط المفاهيم الهندسية تماما. انظر
  http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-02b/projects/hui/proof1.html
المراجع:http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml


مقول عن شبكة الرياضيات رمز

مرسلة بواسطة عبد الرحيم الصديقي في 10/20/2010

0 التعليقات:

إرسال تعليق