20‏/10‏/2010

نظرية Steiner-Lehmus

Steiner-Lehmus theorem

بالرغم من معرفتنا للحقيقة البديهية التالية:
إذا كان المثلثBAC متطابق الضلعين رأسه A فإن منصفي الزاويتين المتساويتين B,C متطابقان.
ورغم سهولة إثباتها إلا أن عكسها لم يكن بديهيا, ففي العام 1840م أرسل الألماني Lehmus إلى السويسري Steiner (1796-1863) المعروف بتوسعه في علم الهندسة مستفسرا عن برهان لعكس هذه الحقيقة فقدم هذا الأخير برهانه لها ثم قدم بعد ذلك Lehmus برهان آخر. اليوم هناك العشرات من البراهين لهذه الحقيقة المشهورة والمغمورة في آن واحد منها الهندسي ومنها ما يعتمد على حساب المثلثات أو المعادلات الجبرية بالاعتماد على قانون طول منصف الزاوية. هذا وقد حملت هذه النظريةاسم كلا الرياضيين فيطلق عليها Steiner-Lehmus theorem وأحيانا تسمى نظرية منصف الزاوية.
نظرية1 (نظرية منصف الزاوية Steiner-Lehmus): إذا تطابق اثنان من منصفات الزوايافي مثلث فإن المثلث متطابق الضلعين. بصورة أخرى إذا كان BE, CF منصفين للزاويتين B,C في المثلث BAC وكان BE=CF فإن AB=AC.
نظرية ستينر

الإثبات:معطى BE=CF. افرض أن الضلعين AB, AC مختلفين في الطول وليكن مثلا AB<AC. إذا
\widehat{ACB} &lt; \widehat{ABC}
وبالتالي \frac{{\widehat{ACB}}}{2} &lt; \frac{{\widehat{ABC}}}{2} وحيث أن هاتين زاويتين في المثلثين BCE, BCF واللذين لهما ضلعين متطابقين فإن
BF &lt; CE\quad (I)
بما أن BEGF متوازي الأضلاع فإن BE=CF=FG وبالتالي المثلث CFG متطابق الضلعين
أيضا من متوازي الأضلاع \widehat{FGE} = \widehat{FBE} وبالتالي \widehat{ACF} &lt; \widehat{FGE} وحيث \widehat{GCF} = \widehat{CGF} باعتبارهما زاويتي المثلث المتطابق الضلعين فإن \widehat{GCE} &gt; \widehat{CGE} وبالتالي
FB = GE &gt; CE
وهذا يناقض (I).
بالمثل لو فرضنا أن AB>AC سنصل إلى تناقض. إذا AB=AC وهذا يثبت النظرية.
هذا كان برهان هندسي من النوع الغير مباشر, والحقيقة لم يمر علي خلال تتبعي لبراهين هذه النظرية برهان مباشر, واقصد برهان هندسي (باستخدام هندسة اقليدس فقط) يؤدي إلى أن AB=AC وأعتقد أن وجود برهان كهذا لن يخلو من المصاعب.
برهان آخر للنظرية (مختصر البرهان)
افرض أن زاوية B أصغر من زاوية C. ضع النقطة U على القطعة FA بحيث الزاوية UCF تساوي نصف الزاوية B.
ضع النقطة V على القطعة BU بحيث BV=CA وهذا ممكن لأن BU &gt; CA . ضع النقطة W على BE بحيث VW يوازي UC.
المثلثان UCF, VBW متطابقان بواسطة زاويتين وضلع. من هذا التطابق ينتج أن
BW=CF
وهذا مستحيل لأن BW &lt; BE = CF.



برهان ثالث: (معتمد على حساب المثلثات ونذكر الخطوات الرئيسية).
افرض أن مساحة ABC تساوي S وافرض أن a, b, c تمثل أطوال أضلاع المثلث المقابلة للرؤوس A, B, C على الترتيب. فيما يلي نعتمد في المساحة على قانون مساحة المثلث بدلالة جيب الزاوية التي بين ضلعيه.
المساحة S عبارة عن مجموع مساحتى المثلثين المشتركان في الرأس B. إذا
S = (a/2) \cdot \left| {BE} \right|\sin (B/2) + (c/2) \cdot \left| {BE} \right|\sin (B/2)
إذا
2S = (a + c)\left| {BE} \right|\sin (B/2)

كذلك S عبارة عن مجموع مساحتى المثلثين المشتركان في الرأس C. إذا
2S = (a + b)\left| {CF} \right|\sin (C/2)
بالمقارنة مع ملاحظة أن \left| {BE} \right| = \left| {CF} \right| ينتج
(a + c)\sin (B/2) = (a + b)\sin (C/2)
ومنه
a\left( {\sin (B/2) - \sin (C/2)} \right) = b\sin (C/2) - c\sin (B/2)\quad \quad (I)

الآن افرض أن \widehatB &lt; \widehatC, إذا \widehatB/2 &lt; \widehatC/2وبالتالي \sin (B/2) &lt; \sin (C/2)لأن كلا الزاويتين B,C أقل من 90 درجة. إذا الطرف الأيسر في (I) سالبا. علاوة على هذا
\cos (B/2) &gt; \cos (C/2)\quad \quad (II)

ولكن من قانون الجيب في المثلث c\sin B = b\sin C. باستخدام متطابقة ضعف الزاوية ينتج لنا
2c\sin (B/2)\cos (B/2) = 2b\sin (C/2)\cos (C/2)
وبالمقارنة مع (II) ينتج لنا c\sin (B/2) &lt; b\sin (C/2), أي أن الطرف الأيمن في (II) موجبا وهذا تناقض. إذا فرض اختلاف الزاويتين B,C خاطئ وتثبت النظرية.

برهان رابع (برهان مباشر):
كان الحوار حول هذه النظرية في بعض مراحله يتركز على مسألة وجود برهان مباشر لنظرية Steiner lehmus؟ فيما يلي نقدم إثبات للنظرية بالطريقة المباشرة, وقد يعتبره أخرون غير مباشر نظرا لعدم وجود آلية صارمة تحدد ما إذا كان برهان معطى تم بكاملة بطريقة مباشرة أم لا. على كل نقدم البرهان ونترك هذه الخلافات لكبار الرياضيين.



افرض أن BE=CF. ارسم الدائرة المارة بالنقاط الثلاث A,E,B. ضع النقطة G على هذه الدائرة بحيث
\widehat{ACF} = \widehat{BEG}\quad \quad (I)

الزاويتين A,G في المثلثان GEB, ACF متساويتان لأنهما محيطيتان لهما نفس القوس. إذا المثلثان متطابقان من خلال زاويتين وضلع. ارسم منصف الزاوية BAC ليلتقي المنصفين BE, CF في النقطة P وارسم كذلك منصف للزاوية BGE يلتقي BE في النقطة H.الزاوية APE خارجية في المثلث ABP , إذا
APE=ABE+BAP=AGE+EGH=AGH
إذا الزاويتين AGH, APB متكاملتان (أي مجموعهما 180 درجة). وبالتالي AGBP رباعي دائري. إذا
\widehat{AGE} = \widehat{ABE}\quad \quad (II)
لأنهما محيطيتان لهما نفس القوس. كذلك في نفس هذا الرباعي GH=AP لأنهما منصفي زاويتين متناظرتين في مثلثين متطابقين. إذا HP يوازي GA وبالتبادل
\widehat{BEG} = \widehat{AGE}\quad \quad (III)

من (I), (II), (III) ينتج \widehat{ACF} = \widehat{ABE} أي أن \frac{{\widehat{ACB}}}{2} = \frac{{\widehat{ABC}}}{2}[/tex Ù�Ù�Ù�Ù� [tex]\widehatC = \widehatB. لاحظ أن البرهان لم يكن مطولا, وذلك نتيجة للأفكار التي اعتمد عليها.

نسخ أخرى من نظرية Steiner Lehmu
1) تظل النظرية صحيحة فيما لو كنا نتعامل مع تثليث الزاوية بدلا من تنصيفها. بل أنها صحيحة لأي مستقيمين يقسمان الزاويتين B,C بنسبتين متساويتين.
2) في العام 2001م نشرت الشهرية الرياضية الأمريكية بحثا للرياضي موفق حجى Mowaffaq Hajja يتضمن نسخة أخرى من نظرية Steiner Lehmu تنص على أنه
في مثلث حاد الزوايا, إذا كان BE, CF مستقيمين يتقاطعان في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث وكان BE=CF فإن AB=AC. للمزيد من التفاصيل
The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (Oct., 2001), pp. 760-767

مسائل
* اثبت النظرية جبريا معتمدا على قانون طول منصف زاوية في مثلث.
* اثبت النظرية جبريا باستخدام نظرية Stewart


منقول عن شبكة الرياضيات رمز

              

مرسلة بواسطة عبد الرحيم الصديقي في 10/20/2010

0 التعليقات:

إرسال تعليق