20‏/10‏/2010

نظرية سيفا


Ceva's Theorem 

سيفا Ceva, Giovanni 1648-1734, رياضي إيطالي تخصص في الهندسة وقد عرف واشتهر بنظريته التي نعرضها الآن. نظرية سيفا ذات صيغة جميلة ولها العديد من النتائج التي سنتطرق لها مع ترك براهينها للقاريء مع تقديم التلمحيات الكافية له.

نظرية 1 (سيفا): إذا كان ABC مثلث وكانت D,E,F ثلاث نقاط على الأضلاع المقابلة لرؤوسه A,B,C على الترتيب فإن المستقيمات AD, BE, CF تتقاطعفي نقطة واحدة P إذا وفقط إذا كان

\frac{{AF}}{{FB}} \cdot \frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{CE}}{{EA}} = 1

نظرية سيفا

البرهان:
مقسم إلى ثلاثة أقسام متشابهة, كل قسم يختص بضلع وبالأربعة مثلثات التي قواعدها جزء منه.
لنبدأ بالضلع BC. بالنسبة للمثلثين BPD, PDC فإن لهما ارتفاع مشترك وليكن h. إذا رمزنا للمساحة بالرمز \Delta مرفقا به اسم المثلث فإن

\frac{{\Delta _{BPD} }}{{\Delta _{PDC} }} = \frac{{(BD \cdot h)/2}}{{(DC \cdot h)/2}} = \frac{{BD}}{{DC}}

بالمثل المثلثان BAD, ADC لهما ارتفاع مشترك وليكن g. إذا

\frac{{\Delta _{BAD} }}{{\Delta _{ADC} }} = \frac{{(BD \cdot g)/2}}{{(DC \cdot g)/2}} = \frac{{BD}}{{DC}}

إذا ومن خصائص التناسب

\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\Delta _{BAD} - \Delta _{BPD} }}{{\Delta _{DAC} - \Delta _{DPC} }} = \frac{{\Delta _{ABP} }}{{\Delta _{ACP} }}


بالمثل فيما يتعلق بالمثلثات التي قواعدها جزء من CA نجد أن

\frac{{CE}}{{EA}} = \frac{{\Delta _{BCP} }}{{\Delta _{BAP} }}


وكذلك فيما يتعلق بالمثلثات التي قواعدها جزء من AB نجد أن

\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{\Delta _{CAP} }}{{\Delta _{CBP} }}


بضرب هذه التناسبات الثلاث يثبت الجزء الضروري من النظرية.

لاثبات الكفاية افرض أن \frac{{AF}}{{FB}} \cdot \frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{CE}}{{EA}} = 1 ولتكن P نقطة تقاطع AD, BE. ارسم المستقيم AP والذي يقابل الضلع BC في نقطة D'. سنثبت أن D=D'. من القسم الأول من هذا الإثبات

\frac{{AF}}{{FB}} \cdot \frac{{BD'}}{{D'C}} \cdot \frac{{CE}}{{EA}} = 1


إذا \frac{{BD'}}{{D'C}} = \frac{{BD}}{{DC}} ومنه \frac{{BD'}}{{D'C}} + \frac{{D'C}}{{D'C}} = \frac{{BD}}{{DC}} + \frac{{DC}}{{DC}}, أي أن

\frac{{BC}}{{D'C}} = \frac{{BC}}{{DC}}

وبالتالي D'C=DC وبالتالي D=D' وبذلك يثبت شرط الكفاية.


نتيجة1: الارتفاعات في مثلث تلتقي في نقطة واحدة.
للإثبات ارسم الارتفاعات من A,B,C لتلاقي الأضلاع في D,E,F على الترتيب ومن خلال تطابق المثلثات استنتج التناسبات التالية

CE/DC = BE/AD, AF/EA = CF/BE , BD/FB = AD/CF

نتيجة 2: منصفات زوايا المثلث تلتقي في نقطة واحدة.
ارشاد: للبرهان استخدم نظرية منصف الزاوية, انظر

مرسلة بواسطة عبد الرحيم الصديقي في 10/20/2010

0 التعليقات:

إرسال تعليق