20‏/10‏/2010

نظرية مينيلوس (مانيلوس)

Menelaus Theorem
مينيلوس الإسكندرية,(بفتح حرف النون) أو مانيلوس Menelaus of Alexandria. لا يعرف تاريخا دقيقا لحياته ولكن يعتقد انه عاش في القرن الميلادي الأول (70AD-130 or 140AD) وقضى فترة شبابه بالإسكندرية بمصر ثم انتقل إلى روما. يعتبر من أواخر الذين عملوا في الهندسة من اليونانيين القدامى ويعود إليه اكتشاف المثلث الكروي أو الكري كما يسميه البعض, وهي عبارة عن أقواس لدوائر عظمى على سطح كروي. عمل مينيلوس على هذا النوع من حساب المثلثات الكروية ووظفها في دراسته لعلم الفلك ونقل عنه الرياضيين والفلكيين المسلمين. له مؤلفات في هندسة المثلثات الكروية وأشتهر بالنظرية التي حملت اسمه.
هناك من يرى أن "نظرية مينيلوس" (النسخة الإقليدية) ربما تكون معروفة من قبل وأن ما ينسب له فعلا هو تعميمها الخاص بالمثلثات الكروية والذي أصبح من النظريات الأساسية في هذا العلم مما أدى إلى أن حملت النظرية الأولى اسمه والله أعلم.
تتعلق نظرية مينيلوس بالقطع المستقيمة الناتجة من مستقيم قاطع لأضلاع المثلث أو امتدادها, حيث تعين كل نقطة قطعتين على الضلع (أو إمتداده) وحاصل ضرب أطوال الثلاث قطع الغير متجاورة يساوي حاصل أطوال الثلاث الأخرى, هذه هي نظرية مينيلوس ببساطة. الآن إلى الصياغة الدقيقة للنظرية.

 
نظرية 1 (نظرية مينيلوس): إذا كان L مستقيم يقطع أضلاع المثلث ABC أو امتداداتها في النقاط X,Y,Z التي على المستقيمات AB, BC, CA على الترتيب فإن
\frac{{AX}}{{XB}} \cdot \frac{{BY}}{{YC}} \cdot \frac{{CZ}}{{ZA}} = 1
بصورة أخرى
|AX| |BY| |CZ| =|XB| |YC| |ZA|
يجب ملاحظة أن للمستقيم L حالتين في نظرية مينيلوس فهو إما قاطع لضلعين وملاقي لامتداد الضلع الثالث أو انه لا يقطع أي من الأضلاع وإنما يقطع امتدادها والنظرية متحققة في الحالتين.
عكس نظرية مينيلوس
عكس النظرية صحيح ايضا, في النظرية التالية جمعت نظرية مينيلوس وعكسها في صيغة واحدة مفيدة.
نظرية 2(نظرية مينيلوس وعكسها): إذا كان ABC مثلث وكانت النقاط X,Y,Z على المستقيمات AB, BC, CD تواليا فإن هذه النقاط على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كانت
\frac{{AX}}{{XB}} \cdot \frac{{BY}}{{YC}} \cdot \frac{{CZ}}{{ZA}} = 1
ملخص الإثبات

من رؤوس المثلث A,B,C, نسقط أعمدة على المستقيم L ولنفرض أن القطع العمودية لها الأطوال r,s,t على الترتيب. كل عمودين ينتج عنهما مثلثين قائمين ومتشابهين. إذا لدينا ثلاث أزواج من المثلثات المتشابه وينتج عنها التناسبات:

\frac{{AX}}{{XB}} = \frac{r}{s},\quad \frac{{BY}}{{YC}} = \frac{s}{t},\quad \frac{{CZ}}{{ZA}} = \frac{t}{r}
بالضرب
\frac{{AX}}{{XB}} \cdot \frac{{BY}}{{YC}} \cdot \frac{{CZ}}{{ZA}} = \frac{r}{s} \cdot \frac{s}{t} \cdot \frac{t}{r} = 1
وتثبت النظرية.
إثبات عكس النظرية ليس صعبا , ويتم بالبرهان الغير مباشر افرض أن نقطة من نقط التقاطع الثلاث لا تقع على المستقيم المار بالنقطتين الأخرى ثم احصل على تناقض.
نظرية مينيلوس وعكسها بمفهوم القطع الموجهة
إذا كان ABC مثلث وكانت النقاط X,Y,Z على المستقيمات AB, BC, CD تواليا فإن هذه النقاط على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كانت
\frac{{\overline {AX} }}{{\overline {XB} }} \cdot \frac{{\overline {BY} }}{{\overline {YC} }} \cdot \frac{{\overline {CZ} }}{{\overline {ZA} }} = - 1
وذلك لأنه أي من هذه النسب مثلا \frac{{\overline {AX} }}{{\overline {XB} }} لا تكون سالبة إلا في حالة ما تكون x خارج الضلع AB , أي على امتداده,  وهذا يحدث لضلع واحد أو للثلاثة معا, راجع حالات المستقيم L أعلاه.

تكافؤ نظرية مينيلوس ونظرية سيفا
نظرية مينيلوس ونظرية سيفا على ارتباط وثيق ببعضهما, كل واحدة منهما تؤدي للأخرى, سيكون عملا شيقا لو استطعت إثبات هذه العلاقة. في المسائل أدناه وضعت بعض التلميحات المفيدة لهذا الغرض.
في العام 1995م نشر الرياضي Hoehn نظرية تشابه نظرية مينيلوس ولكن على المضلع الخماسي. ارسم خماسي وارسم أوتاره جميعها ثم استبعد منها تلك القطع المكونة للخماسي الداخلي, سيبقى هناك 10 قطع. حاصل ضرب الخمس الغير متجاورة يساوي حاصل ضرب الخمس الأخرى.

بمعنى آخر وبالاعتماد على الرسم فإن نظرية التي قدمها Hoehn تنص على أن:
حاصل ضرب أطوال القطع الملونة بالأحمر يساوي حاصل ضرب أطوال القطع الملونة بالأخضر.
النسخة الكروية من نظرية مينيلوس
لقد استخدم مينيلوس النسخة الإقليدية من النظريته في اثبات النسخة الكروية منها. واستبدلت النسب في النظرية بدلالة الأقواس ولكن سنكتبها هنا باستخدام دالة الجيب.
نظرية 3 (النسخة الكروية لنظرية مينيلوس): إذا كان ABC مثلثا كرويا وكان L دائرة عظمى تقطع الأضلاع في النقاط X,Y,Z على الترتيب السابق فإن
\frac{{\sin AX}}{{\sin XB}} \cdot \frac{{\sin BY}}{{\sin YC}} \cdot \frac{{\sin CZ}}{{\sin ZA}} = 1

مسائل
* اثبت نظرية مينيلوس باستخدام قانون مساحة المثلث بدلالة ضلعين وجيب الزاوية بينهما. إرشاد, طبق على المثلثات AXZ, BYX, CZY وأوجد ستة تناسبات, (التناسب هو مساواة بين نسبتين).
* اثبت نظرية مينيلوس باستخدام نظرية طالس. إرشاد: من A ارسم مواز للقاطع ZX يقابل BC في H. وطبق نظرية طالس مرتين , مرة على المثلث BAH وأخرى على CAH.
* بين تكافؤ نظريتي سيفا و مانيلوس
إرشاد: لإثبات سيفا ارسم AD,BE,CF تلتقي في نقطة P, ثم طبق مينيلوس على أي المثلثين ناتجين من قسمة أي من هذه المستقيمات للمثلث ABC.

لإثبات مينيلوس ارسم قاطع L كما في الشكل ثم ارسم المستقيمات AY,BZ,CX. وطبق نظرية سيفا على المثلثات
ABZ, BCX, CAY, AZX, BZY, CYX
حيث سيفانيات هذه المثلثات المقصودة هي التي تتقاطع في النقاط Z,Y,X,C,A,B على الترتيب.

المراجع
http://www.britannica.com

http://www.cut-the-knot.org
 
مرسلة بواسطة عبد الرحيم الصديقي في 10/20/2010

0 التعليقات:

إرسال تعليق