الطُّبولوجْيَا

الطُّبولوجْيَا

اعترف العلماء بالطُّبولوجْيَا فرعاً مستقلاً من العلوم الرياضية في العقد الثاني من القرن العشرين، لكن نموها الواسع بدأ في العقد الرابع منه. وهي من أهم الفروع الرياضية الجديدة نسبياًَ، وقد أحدثت آثاراً بعيدة المدى في معظم هذه الموضوعات. ومع أن استحداثها كان استجابة لحاجات التحليل الرياضي، فلايمكن عدّها فرعاً منه. ويمكن القول إنها نوع من الهندسة، لكنها ليست نمطاً متقدماً منها مثل الهندسة الإسقاطية أو التفاضلية، بل إن ثمة ما يسوّغ وصفَ الطبولوجيا بأنها الهندسة الأساسية fundamental geometry.

وتوجد بداياتٌ للطبولوجيا في الستينيات من القرن التاسع عشر في ثنايا بحوث ڤيرشتراس Weierstrass، التي كان يحلل فيها مفهومَ نهايةِ دالةٍ.

وبعد تطوير كانتور Cantor الجريء لنظرية المجموعات (1874ـ1895)، وُجِدَ الأساسُ المكينُ الذي بنى عليه هاوسدورف (1900ـ1910) Hausdorff  الطبولوجيا العامة. بعد ذلك، استُحدثت فروع جديدة للطبولوجيا، تأتي في مقدمتها الطبولوجيا الجبرية، والطبولوجيا التفاضلية.

وتجدر الإشارة هنا إلى أن تطبيقات الطبولوجيا اقتحمت علوماً أخرى غير الرياضيات، لكن هذا الدخول يجري عبر الموضوعات الرياضية التي تستعملها تلك العلوم. وعلى سبيل المثال، فإن التغييرات، التي أحدثتها الطبولوجيا في الهندسة التفاضلية، أطلقت العنان للعاملين في نظرية النسبية ليُضْفُوا نكهة طبولوجية على تفكيرهم. ويمكن القول اليوم إن الطبولوجيا لم تصبح أحد الأركان الأساسية لعلم الرياضيات فحسب، بل غدت ضرورةً للكثير من العلوم الأخرى.

قد يصعب على الطبولوجِّي إعطاء تعريف مباشر وسهل ومحدد للطبولوجيا، ولعل ما يمكنه قوله هو أن الطبولوجيا فرع من علم الرياضيات يبحث في المسائل النوعية (الكيفية) qualitative للبنى الهندسية، وأن تطبيقاته تتعدى علم الهندسة إلى كثير من فروع الرياضيات المتقدمة وإلى بعض العلوم الأخرى. بيد أن مثل هذه الإجابة قد تبدو غامضة، وعندئذٍ يمكن للطبولوجيّ أن يُحضرَ ورقة ومقصاً ومادة لاصقة، ويشكلَ شريطاً يسمى شريط موبيوس Möbius band (سيذكر لاحقاً)، ويقصه على طول خطه المركزي ليصل إلى نتيجةٍ تدهش المتفرج بل يستطيع الطبولوجيّ نزع قميصه الداخلي دون أن يخلع معطفه. هاتان لعبتان معروفتان، لكن كلاًَّ منهما يستند إلى فكرةٍ رياضيةٍ بارعةٍ قد يتطلب شرحها عدة ساعات. بيد أن تقديم مثل هاتين اللعبتين لتعريف الطبولوجيا دون شرحٍ مناسبٍ ليس إلاّ تمثيلاً هزلياً لها.

مفهوم الطبولوجيا

الشكل (1)

الشكل (2)

تُعرّف الطبولوجيا أحياناً بأنها «هندسةٌ على سطوحٍ مطاطية». ومع أن هذا وصف ضبابي وغير مفهوم جيداً، فإنه مفيد لفهم كنه هذا الموضوع. فالطبولوجيا تبحث في خاصيات الأشكال الهندسية التي لا تـتغير عندما تطبّق عليها التحويلات (أي التوابع، أو الدوال) المستمرة. وتـتجلى السمة المميزة للتحويلات المستمرة في أن النقاط «القريبة إحداها من الأخرى»، continuous transformations (functions) قبل إخضاعها لهذه التحويلات، تظل كذلك بعد انتقالها إلى مواضعها الجديدة نتيجة تطبيق تلك التحويلات. في هذه التحويلات يُسمح بالمطّ والتقليص والثني، لكنْ دون قص الأجزاء المختلفة أو تمزيقها أولصقها معًا. وتسمى الخاصيات التي لاتـتغير بعد تطبيق التحويلات المستمرة عليها خاصياتٍ طبولوجيةً topological properties.، لكنْ أيُّ نوع من الخاصيات يمكن وصفها بأنها طبولوجية؟ من الواضح أنها ليست تلك التي تُدرس في الهندسة الإقليدية المألوفة. فالاستقامة، مثلاً، ليست خاصّة طبولوجية، لأن الخط المستقيم يمكن ثنيه ليصبح متعرجاً. وكون الشكل مثلثياً ليس خاصة طبولوجية أيضًا، لأنه يمكن إخضاع المثلث لمطٍّ وثنيٍ مستمرين ليتحول إلى دائرة (الشكل 1)، والكروية ليست خاصية طبولوجية، لأنه يمكن تحويل الكرة بعد إخضاعها للتحويلات السابقة إلى مكعب! وبهذا المعنى فإن أطوال القطع المستقيمة، ومقادير الزوايا والمساحات هي جميعًا مفاهيم يمكن تغييرها بالتحويلات المستمرة، ومن ثم فهي خاصيات غير طبولوجية.

وكمثال على الخاصية الطبولوجيه، وجود فتحة في طارة لاتكوّن جزءاً منها. فمهما كان نمط التحويلات المستمرة التي يخضع سطح الطارة لها، تظل الفتحة موجودة فيها. ومن هذه الخاصيات وجود حافة لسطح، فلايمكن لأي تحويل مستمر أن يغير وجود تلك الحافة.

وهكذا فإن تنوع الأشياء التي يدرسها الطبولوجيّ أقل من تنوع الأشياء التي تـتناولها الفروع الرياضية الأخرى، فلا فرق عنده بين الدائرة والمثلث، وبين الكرة ومتوازي المستطيلات، وبين القطعة المستقيمة وأي منحن ناتج منها بالمط والثني.

التكافؤ الطبولوجي

تسمى الأشياء الأساسية التي تدرسها الطبولوجيا فضاءاتٍ طبولوجيةً topological spaces، وهي أشياء رياضية يمكن تصورها حدسياً بأنها أشكال هندسية. هذه الفضاءات هي مجموعات (تكون أحياناً مجموعات جزئية من فضاء إقليدي) مزوّدة ببنية ـ تسمى طبولوجْيَا ـ تسمح بصوغ مفهوم الاستمرار. فسطح الكرة، أو الطارةِ torus، أو الطارةِ المضاعفه (ذات الفتحتين) تقدم أمثلة على فضاءات طبولوجية (الشكل 2).

الشكل (3)

يقال عن فضائين طبولوجيين إنهما متكافئان طبولوجيًَّا إذا أمكن الانتقال من أحدهما إلى الآخر بطريقة مستمرة، ثم العودة إلى الوضع الأصلي بطريقة مستمرة أيضاً. وغالباً ما يقال إن الطبولوجيّ لايفرق بين الكعكة وفنجان القهوة، اللذين يقدمان مثالاً على شيئين متكافئين طبولوجيّاً (الشكل 3).

الشكل (4)

الشكل (5)

ثمة مفهوم للتكافؤ.في كل من الهندسات التقليدية، ففي الهندسة الإقليدية يكون شكلان متكافئين إذا كانا طبوقين congruent، أي إذا وجدت حركة صلبة تطبق أحدهما على الآخر. وفي الهندسة الإسقاطية، يتكافأ شكلان إذا وجد تحويل إسقاطي projectivity ينقل أحدهما إلى الآخر. وتتضمن التحويلاتُ الإسقاطية تحويلاتِ الطبوقيةِ وتحويلات التشابه، وتحويلاتٍ إضافية أخرى تجعل أي مثلث يكافئ أي مثلث آخر، وتجعل أيَ دائرةٍ مكافئةً لأي قطع ناقص.

وبلغة نظرية المجموعات، يقال عن فضاءين طبولوجيين س، ع إنهما متكافئان طبولوجيًَّا إذا وجدت دالةfunction د: س ¬  ع تحقق الشروط الآتية:

أ) د متباينة وغامرة

ب) د مستمرة

ت) د الدالة العكسية

 د-1 : ع  ¬  س مستمرة أيضًا.

لننظر في المثال التالي: لنأخذ قطعتي معجون ولندمجهما معاً. إن هذا التحويل من قطعتين إلى قطعة واحدة مستمر، لأن النقاط التي كانت قريبة بعضها من بعض في القطعتين، تبقى كذلك (الشكل 4) بعد الاندماج. لكنْ عند إجراء التحويل العكسي تنقسم القطعة إلى قسمين (الشكل 5)، ومن ثم تصبح النقاطُ، التي كانت قريبة بعضها من بعض على طرفي الخط الفاصل، بعيدةً بعضها عن بعض، وهذا يعني أن التحويل العكسي ليس مستمراً. لذا فإن الفضاء الطبولوجي س المكوّن من القطعتين المنفصلتين غير مكافئ طبولوجيّا للفضاء ع المكوّن من قطعة متصلة واحدة.

ويوضح الشكل (6) سبعة فضاءات طبولوجية يمكن تقسيمها إلى مجموعتين، كل منها مكوّن من فضاءات متكافئة طبولوجياً. تحوي الأولى الأشكال (ب، جـ، هـ) والثانية الأشكال (أ، د، ذ).

فضاء طبولوجي غير مالوف

ليست جميع الفضاءات الطبولوجية ببساطة الكرة أو الطارة، إذ إن ثمة فضاءات أكثر تعقيداً وإثارة، منها شريط موبيوس، الذي ورد ذكره آنفاً. والذي يمكن عمله من شريط ورقي طويل بأن تُلصق حافتاه بعد تدوير إحداها180 ْ (الشكل7).

الشكل (6)	الشكل (7)

شريط موبيوس سطح وحيد الجانب one-sided، في حين أن الشريط الأسطواني ـ الذي ينجم من شريط ورقي بلصق حافتيه دون تدويرهما ـ ثنائي الجانب two-sided. الفرق بين هذين السطحين، هو أن حشرة ما موجودة على شريط موبيوس تستطيع بلوغ أي نقطة منه دون أن تتجاوز حدود الشريط، في حين أن حشرة موجودة على الشريط الأسطواني لايمكنها الانتقال من جانب إلى آخر منه دون تجاوز حدوده. ولما كان ثمة مبرهنة تبين أن عدد الجوانب خاصية طبولوجية، فإن شريط موبيوس والشريط الأسطواني ليسا متكافئين طبولوجياً.

المصدر :الموسوعة العربية

المنطق الضبابي

المنطق الضبابي هو توسيع وامتداد لمفهوم المنطق الكلاسيكي.

تعريف وبدايات المنطق الضبابي

نطق الغموض هو أحد أشكال المنطق، يستخدم في بعض الأنظمة الخبيرة وتطبيقات الذكاء الاصطناعي، نشأ هذا المنطق عام 1965 على يد العالم الاذربيجاني الأصل "لطفي زادة" من جامعة كاليفورنيا حيث طوّره ليستخدمه كطريقة أفضل لمعالجة البيانات، لكن نظريته لم تلق اهتماماً حتى عام 1974 حيث استخدم منطق الغموض في تنظيم محرك بخاري، ثم تطورت تطبيقاته حتى وصلت لتصنيع شريحة منطق ضبابى fuzzy logic chip والتي استعملت في العديد من المنتجات كآلات التصوير.
هناك العديد من الدوافع التي دفعت العلماء إلى تطوير علم المنطق الضبابي فمع تطور الحاسوب والبرمجيات نشأت الرغبة في اختراع أو برمجة أنظمة يمكنها التعامل مع المعلومات الغير الدقيقة على غرار الإنسان لكن هذا ولد مشكلة حيث أن الحاسوب لا يمكنه التعامل إلا مع معطيات دقيقة ومحددة. وقد نتج عن هذا التوجه ما يعرف بالأنظمة الخبيرة أو الذكاء الإصطناعي ويعتبر علم المنطق الضبابي أحد النظريات التي يمكن من خلالها بناء مثل هذه الأنظمة.

المفهوم العام لمنطق الضبابي fuzzy logic

نطق الضباب بالمعنى الواسع هو منظومة منطقية تقوم على تعميم للمنطق التقليدي ثنائي القيم، وذلك للاستدلال في ظروف غير مؤكدة. وبالمعنى الضيق فهو نظريات وتقنيات تستخدم المجموعات الضبابية التي هي مجموعات بلا حدود قاطعة. يمثل هذا المنطق طريقة سهلة لتوصيف وتمثيل الخبرة البشرية، كما أنه يقدم الحلول العملية للمشاكل الواقعية، وهي حلول بتكلفة فعالة ومعقولة، بالمقارنة مع الحلول الأخرى التي تقدم التقنيات الأخرى.

المفاهيم والمفردات الأساسية في علم المنطق الضبابي

المجموعة التقليدية والمجموعة الضبابية

المجموعة التقليدية

في المجموعة الكلاسيكية أو التقليدية يمكن لعنصر ما إما أن ينتمي للمجموعة وإما أنه لا ينتمي لها بتاتا. فلنعتبر مثلا المجموعة A ومجموعة U. إذا قمنا بتعريف الدالة μ_A التي تعطي لكل عنصر من عناصر المجموعة U درجة انتمائه إلى المجموعة A ،و ذلك عبر إعطائها الرقم 1 في صورة انتماء العنصر للمجموعة أي μ_A(x) = 1 إذا كان عنصر المجموعة U أي العنصر x ينتمي للمجموعة A. أما إذا كان العنصر x لا ينتمي لـ A فإن الدالة μ_A تعطيه الرقم 0 أي μ_A(x) = 0 وعلى ذلك فإنه يمكن التعبير عالي الدالة μ_A كالآتي:

المجموعة الضبابية

في المجموعة الضبابية يمكن لعنصر ما أن يكون منتمي إلى حد معين للمجموعة. لنأخذ مثالا: لنعتبر المجموعة A مجموعة درجات الحرارة التي تصنف كباردة(باردة بالنسبة للإنسان) ولنعتبر المجموعة U هي كل درجات الحرارة التي يمكن أن توجد في الكون مثلا ولنأخذ من المجموعة U العنصر x=-100 هذه درجة حرارة باردة جدا ولذلك فهي تنتمي تماما للمجموعة A أي μ_A(x) = 1 أما إذا أخذنا درجة x=+500 فإن هذه الدرجة من الحرارة حارة جدا ولذلك العنصر x لا ينتمي أبدا إلى A. إلى الآن لم نخرج عن استعمالات المنطق الكلاسيكي أو التقليدي كما هو مبين أعلاه ولكن لنأخذ الآن درجة الحرارة 12 درجة أي x=12. في المنطق التقليدي ليس لدينا إلا إحتمالين إما أن x ينتمي أو أنه لا ينتمي ل A. في المنطق الضبابي يمكن أن نقول أن x ينتمي مثلا إلى درجة 50% إلى A أي أن درجة حرارة 12 درجة هي نصف باردة نصف معتدلة مثلا أي μ_A(x) = 0.5 وهنا نرى الاختلاف في تعريف الدالة μ_A حيث تعرف رياضيا كالآتي:


حيث يمكن للدالة أن تعطي نتائج بين 0 و 1 على عكس الأمر في المنطق الكلاسيكي حيث لا تعطي الدالة إلا رقم 1 أو رقم صفر

العمليات على المجموعات الضبابية

هناك العديد من العمليات التي يمكن إجرائها على المجموعات الكلاسيكية منها:

• التقاطع ويرمز للعملية ب أو
• الدمج ويرمز للعملية ب أو
• العكس ويرمز للعملية ب أو

في المجموعات الضبابية أو المنطق الضبابي يمكن استعمال هذه العمليات أيضا ولكن دعنا ندرس كيفية القيام بهذه العمليات في المنطق الكلاسيكي ونقارنها بالعملية في المنطق الضبابي.
العكس
لنأخذ مثلا عملية العكس أي أو حيث A هي مجموعة الدرجات المعتدلة و B هي أي درجات الحرارة الغير معتدلة فماهي العلاقة بين دالة الانتماء μ_A وμ_B العلاقة موضحة في الصورة أسفله
حيث في المنطق الكلاسيكي يجب مثلا على درجة حراة معتدلة أن تنتمي كليا لـ A وفي نفس الوقت لا تنتمي بتاتا ل B أي مثلا درجة الحرارة المعتدلة 20 يجب أن تكون تخضع للعلاقة μ_A(20) = 1 وفي نفس الوقت μ_B(20) = 0 وهذا تجسيد للمنطق الكلاسيكي حيث درجة الحراة 20 إما أن تحسب على المجموعة المعتدلة أو الغير معتدلة وليس من الممكن أن تكون 20 درجة في نفس الوقت معتدلة وغير معتدلة. هذا يمكن تحقيقه إذا كانت دالة الانتماء μ_B = 1 − μ_A وتكون كما هي مبيتة في الرسم أعلاه. يجدر الإشارة إلى أن هذه ليست إلا إمكانية تحقيق فكرة العكس في المنطق ويمكن طبعا استعمال عمليات أخرى عوض عملية الطرح إذا كانت تؤدي نفس المعنى إلا أن استعمال عملية الطرح للقيام بالعكس هي الأكثر شيوعا ويمكن استعمال عملية الطرح في المنطق الضبابي أيضا.
التقاطع
يمكن تعريف عملية التقاطع في المنطق الضبابي وفي المنطق الكلاسيكي على حد السواء كما هو الحال لعملية العكس أي باستعمال عمليات رياضية على دالات الانتماء μ ولكن في التقاطع عوض استعمال عملية الطرح عادة ما تستعمل عملية min
الدمج
يمكن تعريف عملية الدمج في المنطق الضبابي وفي المنطق الكلاسيكي على حد السواء كما هو الحال لعملية العكس أي باستعمال عمليات رياضية على دالات الانتماء μ ولكن في الدمج عوض استعمال عملية الطرح عادة ما تستعمل عملية max

تطبيقات

الذكاء الإصطناعي

يستخدم المنطق الضبابى في تصميم وتحليل بعض الشبكات العصبية الإصطناعية.

تحكم عملياتى

التحكم العملياتى هو في الإنجليزية process control ويتعلق أيضا بالتحكم الآلى automatic control. وتتضمن معظم التطبيفات التحكم في المتغيرات الحركية (الميكانيكية) للآلة بناءا على المدخلات الآتية من المستشعرات البيئية. بعض التطبيقات كما يلى:

• آلات تصوير الفيديو: استشعار حركة الأشياء التي تقوم الكاميرا بتصويرها وأيضا أي اهتزاز من قبل الكاميرا.
• السيارات: توفير إمكانية التحكم في السرعة cruise control حيث تقوم دائرة المنطق الضبابى بحساب التسارع والتحكم في أثر حقن المزيد من الوقود أو تشغيل الفرامل.
• تكييف الهواء: القيام بتخفيض الحرارة تدريجيا حتى الوصول إلى المستوى المراد.
• غلايات السفن : مراقبة درجة الحرارة والضغط والمحتوى الكميائي للمحافظة على الاستقرار.
• الغسالات: مراقبة الحِمل نوعية الأنسجة وكمية المنظف لتحقيق الأمثلية optimize the cycle في دورة الغسل.

مبدأ المنطق الضبابي

القاعدة الأساسية: المنطق الضبابي هو أحد أشكال الغموض والذي حير العلماء ولكن ليس من الضروري الآن الشرح الكامل للمنطق الضبابي وإنما نكتفي بتعريفه وتبيين استعمالاته في عام 1995 لطفي زادة اكتشف المنطق الضبابي عندما كان يعمل في جامعة كاليفورنيا حيث لاحظ أن الصح والخطأ لا تكفي من أجل تمثيل كافة الأشكال المنطقية وخاصة المشاكل التي تواجهنا حاليا. فالمنطق الكلاسيكي يعتمد على 0 أو 1 فقط وهذا ما يعتمد عليه الكثير من العلاقات في حين توجد علاقات أخرى يكون فيها الموضع الذي فيها يمكن اعتباره صحيح جزئيا أو خاطئ جزئيا في نفس الوقت. وبشكل عام نقول أن : (n) =1 fѕ عندما n Є S، (n) = 0 fѕ عندما xلا تنتمي إلى S.

و هذا ما هو موضح بالشكل حيث أن تغير صغير في قيمة X تجعلها تتغير من set1 إلى set 2
بينما المنطق الضبابي يصف لنا علاقة التابع بشكل أشمل وأعم من ذلك حيث أن الحالة يمكن أن تكون حالة وسط بين الحالتين المألوفتين كما في العلاقة التالية:

ففي المنطق الضبابي يكون الانتقال بين الوضعين بشكل تدريجي لذلك يمكن في هذه المرحلة أن نعتبر الوضع يأخذ كلا الحالتين معا حيث أن تغير صغير في قيمة الدخل يسبب زيادة في التغير وليس تغيرا تاماً.

المعالجة

إن نظام معالجة المنطق الضبابي يدمج داخل ما يسمى وحدة استنتاج ضبابية FIU (fuzzy inferencing unit) تضم هذه الوحدة ثلاث وحدات أساسية للمعالجة هي: الوحدة الأولى : تضم نظام الإدخال والإخراج. الوحدة الثانية : التزويد من قبل المستخدمين. الوحدة الثالثة: تقوم بمعالجة القاعدة المعطاة.

طريقة المعالجة

يوجد الكثير من التوابع في المنطق الضبابي ونذكر مثالا عليها الشكل التالي:

العمليات على المجموعات الضبابية

هناك العديد من العمليات التي يمكن إجرائها على المجموعات الكلاسيكية منها: • التقاطع ويرمز للعملية ب أو
• الدمج ويرمز للعملية ب أو
• العكس ويرمز للعملية ب

تطبيقات المنطق الضبابي

الذكاء الإصطناعي يستخدم المنطق الضبابى في تصميم وتحليل بعض الشبكات العصبية الإصطناعية.

التحكم العملياتي

التحكم العملياتي هو في الإنجليزية process control ويتعلق أيضا بالتحكم الآلى automatic control. وتتضمن معظم التطبيفات التحكم في المتغيرات الحركية (الميكانيكية) للآلة بناءا على المدخلات الآتية من المستشعرات البيئية. بعض التطبيقات كما يلى: • آلات تصوير الفيديو: استشعار حركة الأشياء التي تقوم الكاميرا بتصويرها وأيضا أي اهتزاز من قبل الكاميرا. • السيارات: توفير إمكانية التحكم في السرعة cruise control حيث تقوم دائرة المنطق الضبابى بحساب التسارع والتحكم في أثر حقن المزيد من الوقود أو تشغيل الفرامل. • تكييف الهواء: القيام بتخفيض الحرارة تدريجيا حتى الوصول إلى المستوى المراد. • غلايات السفن : مراقبة درجة الحرارة والضغط والمحتوى الكميائي للمحافظة على الاستقرار • الغسالات: مراقبة الحِمل نوعية الأنسجة وكمية المنظف لتحقيق الأمثلية optimize the cycle في دورة الغسل.

المصدر : مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات

 

علم المثلثات

علم المثلثات (Trigonometry) هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا والمثلثات والتوابع المثلثية مثل الجيب والجيب تمام. علم المثلثات هو أحد فروع علم الهندسة العامة. يعتبر قدماء المصريين أول من عمل بقواعد حساب المثلثات، إذ استخدموها في بناء الأهرامات وبناء معابدهم. لكن قليل من الموروث عنهم في هيئة مخطوطات ، ومنها أن عرّّفوا مساحة الدائرة بكونها مساوية ل 9و0 لمساحة المربع المحيط بها المماس لها من أربع أضلاع. وترجع معرفتنا بحساب المثلثات إلى الإغريق الذين وضعوا قوانينها.
لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات والزوايا في إنشاء المباني والطرق وفي صناعة الموتورات وأجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة، وكذلك وفي حساب المسافات الجغرافية والفلك، وفي أنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية.
يكون مثلثان متشابهان إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيرة أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة. أي انه إذا كان طول أقصر اضلاع المثلث الأول ضعف طول أقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول يكون ضعف طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني.
اعتمادا على هذه القوانين، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين المثلث القائم. وهناك القانون القائل انه إذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، وتكون النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين (الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين وتعتمد فقط على قيمة الزاوية، وستكون عددا بين 0 و 1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف تجيب الزاوية على أنها النسبة بين الضلع المجاور لها والوتر.
جيب زاوية = المحور الصادي
تجيب تمام زاوية = المحور السيني
تابعا الجيب والجيب هما أهم التوابع المثلثية، هناك أيضا توابع أخرى تعرف باخذ نسب أخرى من اضلاع المثلث القائم، أو نسب من التابعين الأساسيين جيب وتجيب، هذه التوابع هي: طل، تطل، قا، وتقا.
ظل الزاوية = جيب الزاوية/ جيب تمام الزاوية ظل تمام الزاوية = جيب تمام الزاوية / جيب الزاوية قا (قاطع) = 1 / جتا يه قاطع تمام (قتا) = 1 / جيب بهذا نكون قد عرفنا التوابع المثلثية للزوايا من 0 إلى 90، من الممكن توسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام الدائرة الواحدية.
عند إمكانية حساب التوابع المثلثية (من جداول أو الآلة الحاسبة) ومعرفة قيم ضلع وزاويتين أو ضلعين وزاوية أو ثلاثة اضلاع من المثلث، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا واضلاع) باستخدام قوانين الجيب وقوانين جيب تمام.

• هذا بخصوص حساب المثلثات المستوية. وهناك فرع لا يقل أهمية عنه وهو حساب المثلثات علي السطح الكروي، وهذا الفرع مهم بصفة خاصة في الفلك وفي الملاحة.

هذا بخصوص

تحليل التوافقية

تحليل التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات الذي يدرس التمثيل في الأقترانات أو إشارات مثل تداخل الموجات الأساسية.انها تحقق وتعمم مفاهيم متسلسلة فوريير وتحويل فوريير. موجات الأساسية يطلق عليهم اسم "التوافقية" (في الفيزياء) ، ومن هنا اسم "التحليل التوافقي" ، ولكن اسم "التوافقية" في هذا السياق هو معمم خارج عن المعنى الأصلي لمضاعفات صحيحة لتردد ما. في القرنين الماضيين ، فقد أصبح موضوع واسع مع التطبيقات في مجالات متنوعة مثل معالجة الإشارات ، ميكانيكا الكم ، وعلم الأعصاب. تحويل فوريير الكلاسيكي على ن ص لا يزال مجال بحث جاري، وخصوصا فيما يتعلق بتحويل فوريير لأشياء أكثر عمومية مثل توزيعات المزاج(tempered distributions).على سبيل المثال ، إذا كان لنا أن نفرض بعض المتطلبات على توزيع "و" ، يمكننا محاولة ترجمة هذه الاحتياجات ، من خلال تحويل فوريير على التوزيع "و". مبرهنة بيلي - فينر هو مثال على هذا.

التفاضل والتكامل

التفاضل والتكامل (باللاتينية: Calculus) فرع من فروع الرياضيات يدرس النهايات والاشتقاق والتكامل والمتسلسلات الانهائية. وهو علم يستخدم لدراسة التغير في الدوال وتحليلها.

ويدخل علم التفاضل والتكامل في العديد من التطبيقات في الهندسة والعلوم المختلفة حيث كثيرا ما يحتاج لدراسة سلوك الدالة والتغير فيها وحل المشاكل التي يعجز علم الجبر عن حلها بسهولة.وعادة مايدرس علم التفاضل والتكامل بعد دراسة أساسيات الجبر والهندسة وحساب المثلثات. ومن الموضوعات الرئيسية في هذا العلم هي النهايات والكميات الموحلة في الصغر.

و ينقسم إلى هذا العلم إلى فرعين هما التفاضل والتكامل ويربط بينهما ما يعرف بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. وفى بعض الأحيان قد يستخدم الاسم تفاضل وتكامل في الإشارة إلى أي نظام يستخدم في الحسبان ويستخدم فية الرموز في التعامل مع المصطلحات والمتغيرات المختلفة مثل تفاضل وتكامل لامبدا والتفاضل والتكامل الاقتراحى والتفاضل والتكامل العلائقى والتفاضل والتكامل المؤكد

نظرية الزمر

نظرية الزمر أو نظرية المجموعات ([الإنجليزية:Group Theory) هي فرع في الرياضيات الذي يهتم بدراسة المجموعات Groups وخواصها. فالزمرة تعني "مجموعة" أو "جماعة مشتركة في صفة أو عدة صفات".
أما المعنى الرياضي لنظرية الزمر فهي تلك النظرية التي تهتم بالمجموعات العددية المختلفة مثل الأعداد الطبيعية والنسبية والكسرية...الخ
ولكي يمكننا القول بأن مجموعة ما تشكل زمرة يجب تحقق عدة شروط.
أن مجموعة ما من تسمى زمرة، مع وجود عملية رياضياتية خاصة (.) تدعى "تكوين الزمرة" (Group Composition)، إذا تحقق ما ياتي:

1. الإغلاق (Closure): وهو ان نتيجة تطبيق العملية على عناصر من الزمرة تنتمي للزمرة نفسها.
2. التجميع (Associativity)
3. وجود عنصر محايد (Identity)
4. وجود عنصر عكسي متمم (inverse)
5. أما الشرط الخامس وهو الابدال ويتحقق إذا كان   لكل  . إن الزمرة التي تحقق الشروط الأربعة في الأعلى إضافة للخامس تدعى زمرة إبدالية (Commutative) أو زمرة أبيلية (Abelian).

نظرية الأعداد

نظرية الأعداد هو فرع من الرياضيات يهتم بخصائص الأعداد الصحيحة، سواء كانت طبيعية أو نسبية، وتتضمن عدة مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين. بصفة عامة، المجال الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة الأعداد الطبيعية. من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب الطريقة المستعملة ونوع المسألة. فهي فرع من فروع الرّياضيات تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.
عند الإطلاق، نظرية الأعداد تدرس قابلية القسمة والأوليّة والتحليل (إلى جداء عوامل أولية). كما تدرس خواص التجزئة وما قارب ذلك. ويوجد فروع أخرى نذكر منها نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء والأعداد المتسامية ونظرية التحليل في التوسيعات الجبرية وغير هذا، ونظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية) حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية مثلا، انظر دالّة زيتا.

انظر مثلا قائمة بمجالات نظرية الأعداد.
المفهوم «حسابيات» مستعمل كمرجع لمبرهنة الأعداد وهو مفهوم قديم جدا.

المبرهنة البدائية للأعداد

في هذا المجال، تدرس الأعداد دون اللجوء لتقنيات آتية من فروع أخرى للرياضيات. مسألة قابلية القسمة، خوارزمية إقليدس تمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر ، تفكيك الأعداد إلى أعداد أولية, البحث عن الأعداد المثالية والتقريب تنتمي لهذا المجال.
النتائج هي مبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أولير, ثم مبرهنة الباقي الصيني وقانون الإنعكاس الرباعي. خاصيات الدوال الجذائية مثل دالة ميبيس ودالة أولير تمت دراستها ; وأيضا المتتاليات مثل عاملي وأعداد فيبوشى.
عدة مسائل المبرهنة البدائية للأعداد تبدو بسيطة تحتاج لتعمق في الرياضيات ولمقاربات جديدة. كما في المثلة الآتية :

• حدسية غولدباخالخاصة بالأعداد الزوجية كجمع عددين أوليين,
• حدسية كاتالانالخاصة بأس أعداد طبيعية متتالية,
• حدسية التوأمين الأوليةالتي تقول أن مجموعة الأعداد الأولية التوأم غير منتهية, و* حدسية سيراكيز الخاصة بمتتالية بسيطة.

مبرهنة 'المعادلة الديوفانية تم البرهنة على أنها غير محددة (انظر مسائل هيلبرت).

المبرهنة التحليلية للأعداد

تستعمل أدوات الحساب والتحليل العقدي, لدراسة مسائل حول الأعداد الطبيعية. مبرهنة الأعداد الأولية وفرضية ريمان هي بعض الأمثلة.

• حدسية التوأمين الأولية
• حدسية غولدباخ

تم معالجتها بواسطة طرق تحليلية. الدليل على كون أعداد مثل عدد بي وعدد أولير هي أعداد لا يمكنها أن تكون حلولا لأي معادلة جبرية تم تصنيفها في هذا الإطار أي تحليل الأعداد.
في حين النتائج الخاصة بالأعداد التي ليس حلا لأي معادلة جبرية, تبدو خارج دراسة الأعداد الطبيعية.

المبرهنة الجبرية للأعداد

في هذا الحقل، مفهوم الأعداد تم إضافة مصطلح الأعداد الجبرية، التي هي جذور المعادلات الحدودية ذات معاملات نسبية. كما نجد مفهوما مقاربا وهو الأعداد الطبيعية الجبرية.
عدة مواضيع تم التعامل معها باستعمال الموافقة بترديد، مما أدى لظهور المبرهنة الجبرية للأعداد.

المبرهنة الهندسية للأعداد

يمكن تسميتها هندسة الأعداد، تتضمن جميع أشكال الهندسة. نجد في هذا المجال مبرهنة مينكوفسكي الخاصة بشبكة النقط في شكل محدب. الهندسة الجبرية والجسم الإهليلجي، يتم أيضا استعمالها
مقالات ويكيبيديا

الرياضيات و المنطق:
أسس نظرية لعلوم الحاسوب

تحميل 

معايير تعليم الرياضيات

تحميل 

أثر علماء العرب والمسلمين الاوائل
في تطوير علم الهندسة

تحميل 

مراحل تعلم الرياضيات

مراحل تعلم الرياضيات

مراحل تعلم الرياضيات :
الرياضيات موضوع تراكمي ومنفتح، فالأفكار الجديدة تعود إلى الماضي لتجد لها معنى وأساسا في خلفية الطالب وبنيته المعرفية، وتصبح هذه بدورها مادة لأفكار وعلاقات مقبلة.
وما لم يكن قد أتقن تعلمه جيدا، وغدا قريبا، وفي متناول المتعلم، يصعب الرجوع إليه واعتماده لفهم ما يبنى عليه من موضوعات مستجدة.
إن إتقان التعلم ينطوي على عدة أمور، وحتى يبلغه الطلاب عليهم أن يفهموا المعنى الرياضي للمفهوم أو العلاقة الجديدة، وبعد ذلك يحتاجون إلى العمل عليه بمفردهم حتى يتعمق فهمهم له، وينظروا إليه بثقة وألفة، فيصبح جزءا من خلفيتهم الرياضية، وحتى يكون الطلبة قادرين على استخدام المفهوم أو التعميم مستقبلا وفي مواقف أخرى تختلف عن تلك التي جرى التعلم فيها أصلا، لا بد أن يعوا شكله التجريدي العام، ليتمكنوا من إدراك المواقف التي تكون ملائمة لتطبيق هذا المفهوم أو التعميم، وإذا أريد للمفهوم أو العلاقة أو المهارة الجديدة أن تبقى متماسكة وثابتة في الذاكرة، وجب على الطلبة استخدامها بين الحين الآخر.
وهكذا، فإن تعلم أي موضوع جديد في الرياضيات يمر في أربعة مراحل أو أطوار ( butler, 1970 ) وهذه هي :
1.     الفهم الأولي للمفهوم أو العلاقة أو المهارة الجديدة .
2.     تعميق الفهم والاستيعاب .
3.     التعلم بهدف الانتقال .
4.     دوام التعلم واستبقاؤه .

وسنعرض بشيء من التفصيل هذه المراحل بالتتابع الوارد :

الفهم الأول ( understanding
عندما يبدأ الطلبة تعلم أي موضوع جديد في الرياضيات، لا يكفي أن يلقي المعلم محاضرة عن الموضوع، فالطالب في المرحلة الإعدادية أو الثانوية لا يكون قادرا على استيعاب وفهم موضوع جديد غير مألوف  إذا انفرد المدرس في وقت الحصة، فغالبا ما تعترض الطالب بعض الأمور الصعبة، والتي يؤدي عدم توضيحها من قبل المعلم وفهمها من قبل الطالب إلى التعثر في فهم الأجزاء اللاحقة.
إلا أن ذلك لا يعني أن تقديم المعلومات بطريقة الأخبار أو العرض لا مكان له، أو يجب استبعاده بصورة مطلقة، فهنالك أوقات يضطر فيها المعلم إلى إخبار تلاميذه عن شيء ما أو موضوع معين ليساعدهم على الفهم، كان يوضح معنى جديدا، أو رمزا أو مفهوما.
وحتى لا يكون الموقف الصفي لجانب واحد، يجب أن يتخلله باستمرار أسئلة موجهة من المعلم لطلابه بغية التأكد من فهمهم، وبقصد استدراج أسئلة منهم، وحثهم على المساهمة في النقاش، وعن طريق الأسئلة المنتقاة يتمكن المعلم من توجيه تفكير الطلبة لاكتشاف الحقائق والعلاقات الجديدة بأنفسهم.
وينبغي على المعلم أن يتحقق من فهم طلابه من خلال أسئلة موجهة إليهم حتى يمنع نشوء أية ثغرة في تعلمهم.

التعليم التطوري:
ليست هناك طريقة وحيدة يتعلم بها الطلاب موضوعا جديدا في الرياضيات، وحتى يطور المعلم فهم طلابه للأفكار الجديدة بنجاح، يتوجب عليه أن يكيف أسلوبه ويعد له في ضوء المواقف التي تواجهه، ويستخدم أكثر من طريقة، ويجعلها متكاملة لتسهم في تحقيق الهدف.
ومن الأخطاء التي يرتكبها المعلمون والطلبة على حد سواء، محاولة قطع كمية كبيرة من المادة الرياضية في وقت ضيق، مما يؤدي إلى إخلال في تعلم المادة.
فعلى المعلم والطالب تجنب الإسراع في تعلم موضوع جديد، ذلك أن تطوير تعلم المفاهيم الجديدة عملية بطيئة وتحتاج إلى مناقشة مستمرة، وتفاعلا ما بين مجهودات الطالب والمعلم.
إن الهدف الثابت هو تطوير الفهم الرياضي القابل للاتساع، والمستند إلى خلفية صلبة ومتماسكة، وتغذية الاهتمام المتواصل من جانب الطالب في الموضوع بغية جعله يستسيغ المادة المتعلمة ويقدرها، ويكتسب قدرة متزايدة للتفكير فيها بصورة استقلالية، وضمان أعلى درجة ممكنة من مشاركة الطلاب في المجهود المطلوب، وإثارة اهتمامهم لمتابعة دراسة الرياضيات.

تعميق الاستيعاب :
إن فهم الأفكار والعاقات الجديدة في الرياضيات شرط مسبق لإتقان التعلم، فإتقان تعلم موضوع جديد في الرياضيات يتطلب أكثر من مجرد فهمه، إنه يتطلب أن يكون هذا الموضوع مألوفا للطالب،وجزءا من خلفيته الرياضية.
وهذا لا يتم إلا بإتاحة الفرصة للطلبة للعمل والتفكير المستقلين ودراسة أمثلة متنوعة وحل مسائل متعددة، فالمفاهيم الجديدة، إجمالا ‘ لا تتقن إلا إذا وجدت في مضامين مختلفة، والقواعد الرياضية والعلاقات لا تتقن إلا بالتطبيق المستمر.
هذه المرحلة هي فترة عمل ذاتي من قبل الطلاب، تتاح لهم فيها فرص العمل والتفكير المستقلين، إذا أنهم سيشتغلون بالأفكار والمبادئ التي تعلموها وحدهم لترسيخها بصورة أثبت في بنيتهم المعرفية، وليكتسبوا إدراكا أوسع لدورها واستخدامها في المستقبل في تعلم مفاهيم وعلاقات جديدة.
ويجب أن تتاح للطلاب فرصة التفكير في مسائل جديدة ليروا كيف تستخدم هذه الأفكار والمبادئ في حلها

وانتقال التعلم قد يكون انتقالا إيجابيا، بمعنى أن أداء مهمة ما يسهل أو يساعد على أداء مهمة ثانية، وقد يكون انتقال التعلم سلبيا عندما يؤدي أداء مهمة سابقة إلى تعطيل أو عرقلة أداء مهمة لاحقة.
وانتقال التعلم يجب أن يكون في قمة أهداف تدريس الرياضيات.

ومن مظاهر انتقال التعلم في الرياضيات التعرف إلى نموذج شامل في ظروف متعددة مما يؤدي إلى تعميم أو التعرف إلى نموذج في وضع خاص يشابه نموذجا جرى التعرف عليه من قبل في أوضاع أخرى، أو جرى تعميما سابقا.
والانتقال قد يكون تعميما جديدا أو مثلا أو تطبيقا على تعميم معروف سابقا.
وللنتاجات التعلمية ( المقدرات ) دور فعال في المخطط التراكمي الذي اقترحه جانييه لما تتصف به من قابلية لانتقال أثر التعلم أفقيا ورأسيا.
ويكون الانتقال أفقيا عندما تعمل على المستوى نفسه في موقف جديد مشابه للموقف الأصلي، أي عندما يتم الانتقال من مهمة إلى مهمة أخرى بنفس المستوى أو درجة الصعوبة.
ويكون الانتقال رأسيا عندما توظف المقدرة ( وحدها أو مع غيرها ) في تعلم مقدرة من مستوى أعلى، أي عندما يكون انتقال التعلم من مهمة إلى مهمة أخرى أكثر تقدما أو صعوبة أو تأتي بعدها في سلم التعلم.

توجيه الدراسة في الرياضيات :
 غالبا ما يتبع الطلبة أساليب غير فعالة في دراستهم للرياضيات، فهم يقرؤون دون تعميق، ويهملون أعمالهم الكتابية وواجباتهم البيتية، ولا يجلسون الجلسة الصحيحة، وينصتون لأمور تشتت أفكارهم، ولا يبصرون على الأمور التي تتطلب تفكيرا مركزا ووقتا طويلا، ولا يأخذون الوقت الكافي، وفي أحيان كثيرة لا يكونوا هم البادئين في الأنشطة والأعمال، ويعتمدون اعتمادا كليا على المعلم.
لا يحتاج الأمر من المعلم المدرك وقتا طويلا ليعرف حالة طلابه وإمكاناتهم، كما يجب أن يندفع هذا المعلم وباستمرار تقديم المساعدة لطلابه وفي أتفه الظروف.
إن المعلم ذا النظرة المتعمقة في أوضاع صحيحة في دراسة الرياضيات، ومعالجة الصعوبات والمواقف غير الصحيحة.
التعلم بهدف الانتقال :
هل يمكن تعلم الرياضيات بحيث تستخدم أساليبها ومفاهيمها في حل المسائل في مواقف أخرى ؟
إن الرياضيات تنطوي على مفاهيم ومبادئ ونظريات وأنماط من التفكير والمعالجة الرياضية يمكن تطبيقها في موضوعات أخرى في الرياضيات، ويمكن تطبيقها أيضا في مجالات خارج نطاق الرياضيات، وتمكننا معرفتنا الرياضية من تطبيق أساليبها ومفاهيمها في عدد من المشكلات اليومية أوسع بكثير مما تشمله المواقف الرياضية نفسها.
وانتقال التعلم يعني أن أداء مهمة ما، أو الخبرة التعلمية في موقف معين يؤثر على أداء مهمة لاحقة، أو تعلم خبرة جديدة، أي أن التعلم في موقف معين سابق يؤثر على التعلم في موقف آخر جديد.

وفيما يلي بعض المواقف التي يتم فيها انتقال التعلم :
1.  تعلم قاعدة " مساحة المثلث = نصف حاصل ضرب قياس قاعدته في ارتفاعه " يسهل على الطالب الوصول إلى قاعدة مساحة مضلع منتظم عدد أضلاعه  ن .  ( انتقال تعلم رأسي )
2.     جمع وطرح وضرب الأعداد الصحيحة تعتبر الأساس لتعلم إجراء القسمة الطويلة . ( انتقال تعلم رأسي )
3.  إدراك مفهوم الأساس العشري في كتابة الأعداد والقدرة على إجراء الحسابات في الأساس العشري يسهل تعلم الأساسات غير العشرية وإجراء العمليات الحسابية فيها . ( انتقال تعلم أفقي )
4.     إتقان مهارة جمع الأعداد يسهل تعلم وإتقان طرح الأعداد . ( انتقال تعلم أفقي )
5.  معرفة الطالب أن مجموع زوايا المثلث = 180ْ يسهل عليه التوصل إلى مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع . ( انتقال تعلم رأسي )
6.     تعلم خوارزمية الضرب والمهارة المكتسبة ينتقل إلى تعلم خوارزمية القسمة ويؤدي إلى إتقان مهارة القسمة .
7.     انتقال التعلم من مهمة العزف على البيانو إلى مهمة الضرب على الآلة الكاتبة .

وحتى يسهل انتقال التعلم، لا بد للمعلم مراعاة ما يلي :
                                  أ‌-          أن يعود الطلاب التعرف إلى نماذج متشابهة في أوضاع جديدة، وفي أوضاع مختلفة ومألوفة لديهم.
             ب‌-   أن يعود الطلاب البحث عن التشابهات والتماثلات, من خلال أمثلة يوردها المعلم ويلفت نظر طلابه إلى التشابه والتماثل بين الجديد والمألوف.
نظريات في انتقال التعلم :
1.  نظرية ترويض الملكات : يفترض أصحاب هذه النظرية أن العقل مركب من ملكات (faculties)، مثل ملكة الذاكرة، التفكير، التخيل، وهذه الملكات تتقوى عند الفرد بالتمرين مثلما تتقوى عضلات الجسم بالتدريب والتمرين.
2.  نظرية العناصر المشتركة : تفترض هذه النظرية أن العناصر الموجودة في موقف تعليمي أصلي يجب أن تكون موجودة أيضا في الموقف التعلمي الجديد، وقد تكون العناصر حقائق أو مهارات، أو طرائق، فالتلميذ الذي يتقن الحقائق يستطيع استعمالها في مشاكل أخرى تظهر فيها نفس الحقائق، فإتقان استعمال فهرس أو قاموس ما، ينتقل إلى مهارة استعمال فهرس آخر أو قاموس جديد نظم بطريقة مشابهة.
3.  نظرية التعميم : الانتقال هنا يتم بوجود شيء مشترك بشكل كاف بين الموقف الجديد والموقف القديم، وهي بذلك امتداد لنظرية الانتقال عن طريق العناصر المشتركة، فإتقان تعلم جمع الكسور العشرية في منزلتين ينقل إلى إتقان تعلم جمع الكسور العشرية بصورة عامة وكذلك ضرب وقسمة الكسور العشرية على 10 أو 100 أو ...

4.  النظرية الإدراكية : ذهبت هذه النظرية إلى أبعد من نظرية الانتقال بالتعميم، والتأكيد في هذه التعلم في هذه النظرية على أهمية الاكتشاف وحل المشكلات، والإدراك الكلي للموقف بما في ذلك المبادئ والعلاقات التي يتضمنها الموقف أساسي كاف لحدوث الانتقال وتفسيره.

التعلم بهدف الدوام :
إن كل موضوع جديد في الرياضيات يتم تعلمه قابل للنسيان مهما بلغت درجة إتقانه أساسا، إلا إذا حفظ عن طريق التطبيق والتدريب المتكررين، ويصح هذا بشكل خاص على المهارات والعلاقات الرياضية، فالمهارات تحتاج إلى تدريب منظم، والعلاقات والمفاهيم تحتاج إلى مراجعة وتطبيق في فترات متعددة وسبل التعلم بهدف الدوام وهي التدريب والمراجعة والتطبيق.

          أ‌-    التدريب :  إن وجهة النظر الحديثة في تعلم الرياضيات تعترف بالتدريب كوسيلة أساسية للوصول إلى ضوابط مرغوب فيها، هذا بالإضافة إلى التأكيد على المفاهيم والمعاني والعلاقات اذا ما اريد للفهم ان يتم، فالكثير من العمليات الحسابية يجب ان تتم لا بدقة فحسب، بل بسهولة وسرعة اذا اريد لها ان تكون ذات نفع، وتدعو الحاجة الى جعل بعض هذه العمليات الية، ولبلوغ السهولة في استخدام هذه العمليات لا بد من التمرين المنظم والمتكرر، أي التدريب، واذا اريد ان يكون تعلم الرياضيات فاعلا، وجب ان يتلازم الفهم جنبا الى جنب مع الكفاية في اجراء العمليات، ولا فائدة من المهارة في اجراء عملية ما اذا لم يعرف الفرد الظروف التي تتم فيها هذه العملية.

 ب‌-   المرجعة :  ترتبط المراجعة بالتدريب، اذا ان كليها يتميز بالتكرار ويهدف الى تثبيت المعلومات او المفاهيم او العلاقات، والتفريق بينهما مرده الى الهدف من كل منهما، فالتدريب يهدف الى جعل بعض العمليات نسبيا آاية، بينما تهدف المراجعة لتثبيت التفاصيل، واستيعابها، وتنظيم الاشياء الهامة ورؤيتها بشكل كل متماسك بغية فهم العلاقة بين الاجزاء المختلفة بعضها ببعض، وعلاقة هذه الاجزاء بالوحدة ككل، أي ان المراجعة تعني بترتيب، وربط العناصر ببعضها البعض، وبالقاء النظرة جديدة على الموضوع الذي تمت دراسته.
         ت‌-   التدريب :  بعد ان يتعلم الطلاب جيدا وبكفاية، تبقى هناك مشكلة الاحتفاظ بما تعلموه جاهزا في عقولهم وفي متناول ايديهم، ومن غير تطبيق واستعمال مستمرين تصبح المفاهيم غامضة، ومشوشة، اما المهارات فيعلوها الصدا، وتصبح العلاقات والطرائق غير مؤكدة، ولكي نتجنب ذلك يجب التمرين على المهارات وتنشيط الافكار بين الحين الاخر، حتى ولو كان الطالب قد انتقل الى تعلم موضوع جديد، ويجب ملاحظة ان التدريب والتمرين يجب ان لا يكون مكثفا ومركزا، بل يعاد على فترات متباعدة، وبالمثل تطبيق المبادئ والافكار.